什么是差倍问题？
核心定义：已知两个数的差和这两个数的倍数关系,求这两个数各是多少的应用题。
基本模型：
- 较大数 - 较小数 = 两数之差
- 较大数 = 较小数 × 倍数
目标：求出较大数和较小数。
解题核心：1份数的思想
差倍问题的解题灵魂，就是“1份数”的思想。
- “1份数”：指的是较小数，或者说是倍数关系中的“1倍”所对应的量。
- 关键转化：题目中给出的“差”，其实就是由若干个“1份数”组成的，我们的首要任务，就是先求出这关键的“1份数”。
核心解题公式
掌握了“1份数”的思想,公式就非常简单了：
1份数（较小数） = 两数之差 ÷ (倍数 - 1)
- 两数之差：题目中直接给出的两个数的差。
- 倍数 - 1：用较大数的倍数减去较小数的倍数（通常为1），得到的就是“差”所对应的份数。
求出“1份数”（即较小数）后,再用乘法求出较大数：
较大数 = 较小数 × 倍数
解题步骤（四步法）
按照这个固定的步骤来,任何差倍问题都能迎刃而解。
第一步：审题，找出“差”和“倍”。
- 仔细读题，找出题目中明确给出的两个数的差是多少。
- 找出这两个数之间的倍数关系（“是几倍”、“比几多几倍”等）。
第二步：确定“1份数”。
- 将“差”除以“倍数 - 1”，求出“1份数”的值，这个“1份数”通常就是较小数。
第三步：求较大数。
- 用求出的“1份数”（较小数）乘以倍数，得到较大数。
第四步：验算。
- 将求出的两个数代入原题，检查它们的差和倍数关系是否与题目描述一致,这是确保答案正确的关键一步。
常见题型与变式解析
差倍问题常常会以一些变式的形式出现，但万变不离其宗，核心都是“求1份数”。
变式1：多倍数差倍问题
特点：题目中给出的倍数关系不是简单的“A是B的几倍”，而是更复杂的关系，A比B多几倍”。
技巧：关键在于把“多几倍”转化为“是几倍”。
- “A比B多2倍”，意味着 A = B + 2B = 3B，A是B的3倍。
- “A是B的5倍”，意味着 A = 5B，A比B多4倍。
【例题】 学校图书馆里，科技书的本数比故事书多3倍，科技书比故事书多240本,请问科技书和故事书各有多少本？
解析：
- 审题：
- 差：科技书比故事书多240本。
- 倍数：“科技书比故事书多3倍”，即科技书的本数是故事书的 3 + 1 = 4倍。
- 求1份数（故事书）：
- 1份数 = 差 ÷ (倍数 - 1) = 240 ÷ (4 - 1) = 240 ÷ 3 = 80 (本)
- 故事书有80本。
- 求较大数（科技书）：
科技书 = 故事书 × 4 = 80 × 4 = 320 (本)
- 验算：
- 数量差：320 - 80 = 240 (本),符合。
- 倍数关系：320 ÷ 80 = 4，即科技书是故事书的4倍，比故事书多3倍,符合。
变式2：隐藏的“差”
特点：题目没有直接给出两个数的“差”，而是通过其他条件（如和、剩余等）间接给出。
技巧：需要先通过其他条件，求出隐藏的“差”。
【例题】 甲、乙两个仓库共存粮480吨，如果从甲仓库运出60吨到乙仓库，那么甲仓库的存粮就是乙仓库的2倍，请问原来甲、乙两个仓库各存粮多少吨？
解析：
- 审题：
- 这个题没有直接给差，但给了“和”和“转移”后的倍数关系。
- 关键点：转移粮食，总量不变，转移后,两个仓库的总数仍然是480吨。
- 转移后的倍数关系：甲仓库是乙仓库的2倍。
- 求转移后的“差”和“1份数”：
- 转移后，甲是乙的2倍，我们可以把转移后的乙看作“1份”，甲就是“2份”。
- 总份数 = 2 + 1 = 3份。
- 转移后，乙仓库的存粮（1份）= 总量 ÷ 总份数 = 480 ÷ 3 = 160 (吨)。
- 转移后，甲仓库的存粮（2份）= 160 × 2 = 320 (吨)。
- 求原来的数量：
- 原来甲仓库 = 转移后甲 + 运出的 = 320 + 60 = 380 (吨)。
- 原来乙仓库 = 转移后乙 - 运入的 = 160 - 60 = 100 (吨)。
- 验算：
- 原来总数：380 + 100 = 480 (吨),符合。
- 验证转移后关系：从380运出60到100，甲剩320，乙变为160，320 ÷ 160 = 2,符合。
技巧小结：这类问题虽然形式变了，但核心思想不变，它巧妙地将“差”隐藏在了“和”与“倍数”的关系中，我们可以先利用“和倍问题”的思路（总量÷总份数=1份）求出转移后的数量,再反推出原来的数量。
总结与对比
为了更好地理解，我们可以将差倍问题与它的“兄弟”——和倍问题进行对比。
| 特征 | 差倍问题 | 和倍问题 |
|---|---|---|
| 已知条件 | 两数之差 + 倍数关系 | 两数之和 + 倍数关系 |
| 核心思想 | 差 ÷ (倍数 - 1) = 1份数 | 和 ÷ (倍数 + 1) = 1份数 |
| 求较小数 | 差 ÷ (倍数 - 1) | 和 ÷ (倍数 + 1) |
| 求较大数 | 较小数 × 倍数 | 较小数 × 倍数 或 和 - 较小数 |
| 关键 | 找到“差”对应的份数 | 找到“和”对应的总份数 |
通过对比，你会发现两者结构非常相似，只是将“差”换成了“和”，将“-1”换成了“+1”，理解了这一点,就能举一反三。
最后的小贴士：
- 画线段图：遇到复杂的差倍问题，动手画一个线段图是极其有效的方法，它能让你直观地看到“差”和“倍数”之间的关系,帮助你快速理清思路。
- 单位“1”：在分数应用题中，单位“1”是关键，在差倍问题中，“1份数”就相当于单位“1”的角色，抓住它,就抓住了问题的要害。
希望这份详细的指南能帮助你彻底掌握差倍问题的解题技巧！多加练习,你就能成为解决这类问题的高手。
