排列问题在小学阶段通常以“排队”、“照相”、“比赛”等形式出现，核心是考察学生对顺序的理解，一件事，顺序不同，结果就不同，这就是排列。
核心心法：画图法和列举法（基础中的基础）
对于刚开始接触排列问题的同学,最直观、最不容易出错的方法就是画图法和列举法。
画图法（线段法）
用简单的线段和字母来表示位置和人物,然后逐一填充。
例题： 小明、小红、小丽三个人排成一队照相，有多少种不同的排法？
解题步骤：
-
确定位置： 画三个方框 □ □ □ 代表三个位置。
-
确定人物： 用 M (小明), H (小红), L (小丽) 代表三个人。
-
固定一个，移动 others：
- 小明在第一个位置。
M | □ | □- 第二个位置可以是小红或小丽。
- 如果第二个是小红,第三个只能是小丽：
M → H → L(小明, 小红, 小丽) - 如果第二个是小丽,第三个只能是小红：
M → L → H(小明, 小丽, 小红)
- 如果第二个是小红,第三个只能是小丽：
- 第二个位置可以是小红或小丽。
- 小红在第一个位置。
H | □ | □- 第二个位置可以是小明或小丽。
H → M → L(小红, 小明, 小丽)H → L → M(小红, 小丽, 小明)
- 第二个位置可以是小明或小丽。
- 小丽在第一个位置。
L | □ | □- 第二个位置可以是小明或小红。
L → M → H(小丽, 小明, 小红)L → H → M(小丽, 小红, 小明)
- 第二个位置可以是小明或小红。
- 小明在第一个位置。
-
数一数： 一共找到了 6 种不同的排法。
（图片来源网络，侵删）
列举法（固定法）
和画图法类似,但更侧重于文字的有序列举。
例题： 用数字 2、3、4 可以组成多少个没有重复数字的两位数？
解题步骤：
- 确定顺序： 两位数，有“十位”和“个位”之分，顺序很重要。
- 固定十位，列举个位：
- 如果十位是 2： 个位可以是 3 或 4。 → 组成 23、24
- 如果十位是 3： 个位可以是 2 或 4。 → 组成 32、34
- 如果十位是 4： 个位可以是 2 或 3。 → 组成 42、43
- 数一数： 一共可以组成 6 个不同的两位数。
进阶技巧：乘法原理（“分步”思想）
当数字变大、人数变多时，画图和列举就太慢了，这时就需要用到乘法原理。
乘法原理核心： 做一件事，完成它需要 n 个步骤，第一步有 m1 种方法，第二步有 m2 种方法，……，第 n 步有 mn 种方法，完成这件事总共有 m1 × m2 × … × mn 种不同的方法。
口诀： 分步相乘
例题： 小明、小红、小丽、小强四个人排成一队，有多少种不同的排法？
解题步骤：
- 分步： 排队这件事可以看作是分步完成的，即确定第一个、第二个、第三个、第四个人是谁。
- 算每一步的可能性：
- 第一步：选第一个人。 四个人中任意一个都可以，有 4 种选择。
- 第二步：选第二个人。 已经有一个人站好了，剩下 3 个人可选，有 3 种选择。
- 第三步：选第三个人。 已经有两个人站好了，剩下 2 个人可选，有 2 种选择。
- 第四步：选第四个人。 只剩下最后 1 个人了，有 1 种选择。
- 相乘： 把每一步的可能性乘起来。
4 × 3 × 2 × 1 = 24种。
这就是“排列数”的计算公式：P(n, n) = n! (n的阶乘) P(4, 4) = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
拓展技巧：特殊元素优先法
中有限制条件,某两个人必须站在一起”或“某两个人不能站在一起”，就需要更高级的技巧。
捆绑法（“必须在一起”）
核心： 把必须相邻的几个元素“捆绑”成一个“超级元素”，先计算这个“超级元素”和其他元素的排列，再计算“超级元素”内部的排列。
例题： 小明、小红、小丽、小强四个人排队，小明和小红必须站在一起，有多少种排法？
解题步骤：
- 捆绑： 把“小明和小红”看作一个整体，用“（小明, 小红）”表示，这样问题就变成了三个元素的排列：（小明,小红）、小丽、小强。
- 排列“超级元素”： 三个元素的排列数是
3 × 2 × 1 = 6种。 - 排列“超级元素”内部： “小明和小红”这个整体内部，他们也有两种排法：
小明→小红或者小红→小明，所以有2种。 - 相乘： 总排法 = 外部排列数 × 内部排列数 =
3! × 2! = 6 × 2 = 12种。
插空法（“不能相邻”）
核心： 先安排没有限制的元素，然后在它们形成的“空隙”中插入有限制的元素。
例题： 小明、小红、小丽、小强四个人排队，小明和小红不能站在一起，有多少种排法？
解题步骤：
- 先排无限制的： 先排没有限制的小丽和小强。
2 × 1 = 2种排法（小丽,小强 或 小强,小丽）。 - 找空隙： 两个人排好后，会形成“空隙”，包括两端。
_小丽_小强_，这里有 3 个空隙（用_表示）。 - 插元素： 把不能相邻的小明和小红，插入到这 3 个空隙中的 2 个里，这是一个排列问题，从 3 个空隙中选 2 个来放小明和小红，有
3 × 2 = 6种方法。 - 相乘： 总排法 = 先排无限制的 × 插入的方法 =
2! × P(3, 2) = 2 × 6 = 12种。
（小技巧：总数减去“必须相邻”的，不能相邻”的，总数是 24 种，“必须相邻”是 12 种，不能相邻”24 - 12 = 12 种，验证了我们的答案！）
总结与实战演练
解题思路四步走：
- 审题： 明确题目是“排列”问题（顺序重要吗？），找出所有元素和限制条件。
- 选方法：
- 人少、数少 → 画图法 / 列举法（确保不漏、不重）。
- 人多、数多 → 乘法原理（分步相乘）。
- 有“必须相邻” → 捆绑法（先捆后排）。
- 有“不能相邻” → 插空法（先排后插）或 总数-相邻法。
- 计算： 仔细计算每一步的可能性，注意是“相乘”还是“相加”。
- 分步用乘，分类用加。 排列问题大多是“分步”完成一件事，所以用乘法。
- 检查： 用特殊值代入或逆向思维（如总数法）检查答案是否合理。
实战演练
1：** 用 0、1、2、3 这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
分析：
- 审题： 排列问题，三位数，有百位、十位、个位。特殊限制：百位不能是0。
- 选方法： 乘法原理，但要注意百位的特殊性。
- 计算：
- 第一步：确定百位。 百位不能是0，所以只能是1、2、3中的一个，有 3 种选择。
- 第二步：确定十位。 百位已经用掉一个数字，还剩下3个数字（包括0），所以有 3 种选择。
- 第三步：确定个位。 还剩下2个数字，有 2 种选择。
- 总数：
3 × 3 × 2 = 18个。
- 检查： （略） 2：** 小明、小红、小丽三人照相，如果小明必须站在中间，有多少种排法？
分析：
- 审题： 排列问题，有“小明必须站中间”的限制。
- 选方法： 特殊元素优先法，先把特殊位置定下来。
- 计算：
- 第一步：固定小明。 小明站在中间，位置就确定了。
- 第二步：排列剩下的人。 只剩下小红和小丽站在两边，有两种排法：
小红 → 小明 → 小丽或小丽 → 小明 → 小红。 - 总数：
2种。
- 检查： （略）
希望这份详细的技巧总结能帮助你攻克小学数学的排列问题！多练习是掌握这些技巧的关键。
