核心思想与基本原则
在掌握具体技巧之前，必须牢记几个基本原则,这是所有不等式解题的基石。
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同向不等式可以相加：
a > b且c > d，a + c > b + d。- 注意：同向不等式不能相减（
a - c > b - d不一定成立）。
- 注意：同向不等式不能相减（
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正数同向不等式可以相乘：
a > b > 0且c > d > 0，ac > bd。- 注意：
- 负数时不成立。
- 一正一负时不成立。
- 两边同乘或同除一个负数时，不等号方向必须改变！
- 注意：
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传递性：
a > b且b > c，a > c。 -
可加性：
a > b等价于a + c > b + c,这是移项的依据。 -
可乘性：
a > b且c > 0，则ac > bc。a > b且c < 0，则ac < bc。
常见类型及解题技巧
一元一次不等式（组）
这是最基础的不等式，解法类似于解方程,但要特别注意乘除负数时变号。
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步骤：
- 去分母（注意分母的正负）。
- 去括号。
- 移项（将含未知数的项移到一边，常数项移到另一边）。
- 合并同类项。
- 系数化为1（注意系数的正负，决定是否变号）。
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不等式组：分别求出每个不等式的解集，然后在数轴上找出它们的公共部分（交集）。
例题：解不等式 2(x - 1) - x ≤ 3(4 - x)
解：
2x - 2 - x ≤ 12 - 3x
x - 2 ≤ 12 - 3x
4x ≤ 14
x ≤ 3.5
一元二次不等式
标准形式为 ax² + bx + c > 0 或 ax² + bx + c < 0 (a ≠ 0)。
- 核心思想：“数形结合”——利用二次函数的图像（抛物线）来求解。
- 解题步骤：
- 标准化：将不等式化为
ax² + bx + c > 0或< 0的形式。 - 求根：解方程
ax² + bx + c = 0，得到两个根x₁和x₂(假设x₁ < x₂)。 - 画图：根据二次项系数
a的正负，画出开口向上或向下的抛物线草图，并标出与x轴的交点x₁和x₂。 - 看图求解：
a > 0(开口向上)：ax² + bx + c > 0的解集为x < x₁或x > x₂(“两根之外”)。ax² + bx + c < 0的解集为x₁ < x < x₂(“两根之间”)。
a < 0(开口向下)：ax² + bx + c > 0的解集为x₁ < x < x₂(“两根之间”)。ax² + bx + c < 0的解集为x < x₁或x > x₂(“两根之外”)。
- 特殊情况：
Δ = 0(一个实根)：抛物线与x轴相切。ax² + bx + c > 0的解集为x ≠ x₁(所有不等于根的实数)。ax² + bx + c < 0的解集为空集 。
Δ < 0(无实根)：抛物线与x轴无交点。- 若
a > 0，则ax² + bx + c恒为正，> 0的解集为R，< 0的解集为 。 - 若
a < 0，则ax² + bx + c恒为负，> 0的解集为 ，< 0的解集为R。
- 若
- 标准化：将不等式化为
例题：解不等式 x² - 5x + 6 > 0
解：
- 已是标准形式。
- 解方程
x² - 5x + 6 = 0，得(x-2)(x-3)=0，x₁ = 2,x₂ = 3。 - 因为
a = 1 > 0,抛物线开口向上。 - 根据“开口向上，大于零在两根之外”，解集为
x < 2或x > 3。
分式不等式
标准形式如 (ax+b)/(cx+d) > 0。
- 核心思想：切记不能直接去分母！ 因为分母的符号不确定,必须转化为整式不等式。
- 解题步骤：
- 移项通分：将所有项移到一边,合并成一个分式。
- 转化为乘积：
(分子/分母) > 0等价于分子 × 分母 > 0。(分子/分母) < 0等价于分子 × 分母 < 0。 - 找零点：令分子和分母分别为0，求出
x的值（这些是解集的“分界点”）。 - 画数轴穿根法：
- 在数轴上标出所有分界点。
- 从数轴的右上方开始画曲线。
- 遇到奇次根（即分子或分母的根），曲线穿过数轴。
- 遇到偶次根（如
(x-2)²），曲线反弹（不穿过）。
- 根据原不等式符号定解集：
- 原不等式是
> 0，取曲线在上方的部分。 - 原不等式是
< 0，取曲线在下方的部分。 - 特别注意：分母不能为0，所以分母的根不能取。
- 原不等式是
例题：解不等式 (x+1)/(x-2) ≤ 0
解：
- 移项得
(x+1)/(x-2) ≤ 0。 - 等价于
(x+1)(x-2) ≤ 0并且x-2 ≠ 0。 - 零点为
x = -1和x = 2。 - 画数轴，标出
-1和2。 - 画穿根曲线（从右上方开始，穿过
2，穿过-1）。 - 原不等式是
≤ 0,取曲线在x轴下方及与x轴交点的部分。 - 结合
x ≠ 2，所以解集为[-1, 2)。
绝对值不等式
核心是去掉绝对值符号。
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基本型：
|x| < a或|x| > a(a > 0)|x| < a⇨-a < x < a|x| > a⇨x < -a或x > a
