核心思想：化归与转化
这是立体几何的灵魂,立体几何的本质就是将空间问题转化为平面问题来解决，你要时刻问自己：“这个立体图形的哪个平面可以帮到我？”
- 空间问题平面化：这是最核心的技巧，求异面直线所成角，就是通过平移把两条直线移到同一个平面内，变成求两条相交直线的夹角，求线面角，就是找到斜线在平面内的射影，变成求直角三角形的锐角。
- 复杂图形简单化：一个复杂的几何体，可以看作是由几个简单的几何体（如棱柱、棱锥、棱台）组合或切割而成，可以把它拆解开来分析。
- 位置关系数量化：线线、线面、面面的平行与垂直等位置关系，最终都要通过角和距离这两个数量来精确描述和计算。
三大招式：建系、证垂直、找关系
这是解题的“三板斧”，适用于绝大多数计算和证明题。
空间向量法（建系法）
这是现代立体几何的“核武器”，一旦建立合适的空间直角坐标系，很多复杂的证明和计算问题都会变成程序化的代数运算，大大降低思维难度。
适用场景：中存在垂直关系（如墙角、正方体、线面垂直），要求计算角（线线角、线面角、二面角）或距离（点面距、线线距），要求证明平行或垂直。
解题步骤：
- 建系：选择合适的原点和坐标轴。
- 原点：通常选择线线垂直的交点、某个顶点或底面中心。
- 坐标轴：选择互相垂直的直线作为x, y, z轴，如果题目中已经有垂直关系，就优先利用。
- 写坐标：确定所有相关点的坐标，如果涉及动点，设出参数。
- 求向量：写出解题所需的关键向量（方向向量、法向量等）。
- 套公式：
- 证明平行：方向向量成比例，法向量成比例。
- 证明垂直：向量点积为0。
- 求线线角：
cos<α> = |a·b| / (|a||b|)(注意取锐角/直角)。 - 求线面角：
sin<α> = |a·n| / (|a||n|)(n是平面法向量)。 - 求二面角：
cos<α> = |n₁·n₂| / (|n₁||n₂|)(注意根据图形判断角是α还是π-α)。 - 求点面距：
d = |P₀n| / |n|(P₀是点，n是法向量)。
优点：思路固定，计算量大但清晰，不容易漏掉情况。 缺点：计算过程繁琐，容易算错。
几何法（传统法）
这是经典方法,对空间想象能力和逻辑推理能力要求较高，但在某些特定题型下比向量法更简洁。
核心技巧：
-
证明垂直（重中之重！）
- 线线垂直：
- 定义：成90°角。
- 平行于垂直线的线也垂直。
- 线面垂直 ⇒ 线与面内所有线垂直。
- 线面垂直：
- 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与这个平面垂直，这是最常用、最核心的定理！
- 面面垂直的性质。
- 面面垂直：
- 判定定理：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
- 定义：二面角是直二面角。
- 线线垂直：
-
找“三垂一线”模型（求线面角利器）
- 结构：平面 外一点
P，过P作PA垂直于 ，垂足为A，在 内任取一点B，连接AB和PB。 - 关键：
PA是垂线，AB是斜线PB在平面 内的射影。 - 应用：斜线
PB与平面 所成的角∠PBA，满足cos(∠PBA) = 射影 / 斜线 = AB / PB，这个模型在求线面角时非常有用。
- 结构：平面 外一点
-
找“垂面”模型（找二面角平面角利器）
- 结构：二面角
α-l-β的棱为l，在 内作a ⊥ l，在 内作b ⊥ l，则a和b所成的角就是二面角的平面角。 - 找法：利用面面垂直的性质，如果一个平面垂直于另一个平面，那么第一个平面内垂直于交线的直线，就垂直于第二个平面，这可以帮助我们快速找到垂直于棱的线。
- 结构：二面角
等积法（求体积和距离的捷径）
当直接计算困难时,可以通过“换底”或“换顶点”来求解。
适用场景：
- 求点到平面的距离。
- 求三棱锥的体积。
- 求截面面积。
核心思想：同一个几何体，体积不变。V = (1/3) * S_底 * h_高，通过选择不同的底面，可以建立方程求解未知量。
经典应用：
- 求点面距：求点
P到平面ABC的距离h。- 先以
△ABC为底，用其他方法（如建系）求出体积V。 - 再以
△PAB或△PBC或△PCA为底，求出其面积S'。 - 根据体积
V = (1/3) * S' * h，反解出高h。
- 先以
- 求截面面积：一个几何体被一个平面截，求截面面积，可以先求出被截后形成的一个小几何体的体积，再利用等积法求出高，进而求出截面面积。
分题型解题策略
证明题
- 平行问题：
- 线线平行：中位线、平行四边形、线面平行 ⇒ 线线平行。
- 线面平行：判定定理（面外线 ∥ 面内线）。
- 面面平行：判定定理（两个相交平面都平行于第三个平面）。
- 垂直问题：
- 线线垂直：三垂一线、线面垂直 ⇒ 线线垂直。
- 线面垂直：判定定理（线 ⊥ 面内两相交线）。
- 面面垂直：判定定理（一个面过另一个面的垂线）。
口诀：证垂直，先找线；证平行，先找面，平行和垂直常常是互为因果的。
计算题（角与距离）
- 求角：
- 异面直线所成角：平移法，将两条直线平移至相交点，构成三角形求解，建系法用方向向量夹角。
- 线面角：找射影法，找到斜线在平面内的射影，构成直角三角形求解，建系法用
sinα = |a·n| / (|a||n|)。 - 二面角：
- 定义法：在两个半平面内分别作垂直于棱的线，求这两条线的夹角。
- 垂面法：找一个与棱垂直的平面，与两个半平面相交，交线所成的角就是二面角的平面角。
- 三垂线法：利用三垂线定理（或
