有理数的运算是整个数学学习的基础，掌握一些技巧可以让你的计算又快又准，下面我将从核心原则、分步技巧、综合策略三个方面,为你系统地梳理有理数的运算技巧。
核心原则：万变不离其宗
多复杂，只要抓住以下两个核心原则,就能迎刃而解。
符号优先，法则先行
这是有理数运算的第一铁律，在动笔计算之前，一定要先确定结果的符号。
- 加法：同号取相同的符号,异号取绝对值较大者的符号。
- 减法：转化为加法（加上相反数）,再按加法法则判断符号。
- 乘除法：同号得正,异号得负。
口诀：“先定号，再算值”，养成这个习惯,可以避免绝大多数的符号错误。
统一“身份”，方便运算
有理数包括整数和分数，在进行混合运算时，将所有数统一成分数形式或统一成小数形式，通常会使计算更清晰、更系统。
- 统一成分数：对于包含分数的运算，通常首选,可以避免小数的无限循环问题。
- 统一成小数：当分母是2, 4, 5, 8, 10等简单数时,可以快速转换成小数进行心算。
分步技巧：各个击破
针对不同的运算,有不同的速算技巧。
加法技巧
-
凑整法
- 目标：寻找能凑成整数、整十、整百的数。
- 例子：
-12 + 18 + (-8) + 2 - 分析：
-12和2凑成-10；18和-8凑成10。 - 计算：
(-12 + 2) + (18 + (-8)) = -10 + 10 = 0
-
同号结合法
- 目标：先把正数和正数相加，负数和负数相加，最后再把两个结果相加,这样可以减少符号判断的次数。
- 例子：
5 + (-7) + (-3) + 8 + 1 - 分析：正数
5 + 8 + 1 = 14；负数(-7) + (-3) = -10。 - 计算：
14 + (-10) = 4
减法技巧
- 核心技巧：统一为加法
- 减去一个数，等于加上这个数的相反数，这是减法唯一的、也是最强大的技巧。
- 例子：
-5 - 9 + 7 - (-3) - 转化：
-5 + (-9) + 7 + 3 - 计算：现在变成了加法，可以用凑整法。
-5 + (-9) = -14；7 + 3 = 10；-14 + 10 = -4。
乘除法技巧
-
先确定符号，再算绝对值
- 这是乘除法的核心，先数一下负号的个数，奇数个负号结果为负,偶数个负号结果为正。
- 例子：
(-2) × (-3) × 5 × (-1) × 4 - 定号：有3个负号（-2, -3, -1），是奇数个，所以结果为负。
- 算值：
2 × 3 × 5 × 1 × 4 = 120 - 组合：结果为
-120。
-
约分法
- 在分数乘法中，先进行约分,可以大大简化计算。
- 例子：
(-15/8) × (-4/9) × (-3/5) - 定号：3个负号，结果为负。
- 约分：
15和5可以约掉，15变3，5变1。4和8可以约掉，4变1，8变2。3和9可以约掉，3变1，9变3。
- 算值：
- (3/2) × (1/3) × (1/1) = - (3×1×1) / (2×3×1) = -1/2
-
带分数化假分数
- 计算前，先把带分数（如
2 1/2）化成假分数（5/2）,方便进行乘除运算。
- 计算前，先把带分数（如
混合运算技巧
-
运算顺序是法律
- 口诀：“先乘方，再乘除，最后加减；有括号，先算括号里面的”。
- 例子：
-2² + (-3) × (4 - 6)² - 步骤：
- 算乘方：
-2² = -4（注意：这里是-(2²)，不是(-2)²）；(4 - 6)² = (-2)² = 4。 - 算乘除：
(-3) × 4 = -12。 - 算加减：
-4 + (-12) = -16。
- 算乘方：
-
巧用运算律
- 乘法交换律/结合律：
a × b × c = a × c × b，当遇到可以约分的数时，用交换律把它们换到一起。- 例子：
1/2 × (-2/3) × (-6) × 5 - 分析：
1/2和-2/3和-6可以先算,因为它们可以约分。 - 计算：
(1/2 × -2/3 × -6) × 5 = (1/2 × 4) × 5 = 2 × 5 = 10。
- 例子：
- 分配律：
a × (b + c) = a × b + a × c，这是简化计算的“神器”。- 例子：
(-1/4) × (-12 + 8 - 16) - 分析：如果先算括号内，计算量较大,用分配律更简单。
- 计算：
(-1/4) × (-12) + (-1/4) × 8 + (-1/4) × (-16) = 3 - 2 + 4 = 5。
- 例子：
- 乘法交换律/结合律：
综合策略与良好习惯
-
心算与笔算结合
- 简单的步骤（如
-3+5=2）可以心算。 - 关键步骤、符号判断、最终结果一定要在草稿纸上写清楚,避免眼高手低。
- 简单的步骤（如
-
步步为营，不跳步
尤其是在考试时，跳步是计算失误的主要原因，把每一步的中间结果都清晰地写出来,即使错了也方便检查。
-
养成检验的好习惯
- 重算法：用不同的方法再算一遍，用分配律算完,再用先算括号内再乘的方法验证。
- 估算法：估算一下结果的大致范围和符号，看是否与计算结果相符，一个很大的正数加上一个很小的负数,结果应该还是一个比较大的正数。
| 运算类型 | 核心技巧 | 关键点 |
|---|---|---|
| 加法 | 凑整法、同号结合法 | 先定号，再算值 |
| 减法 | 统一为加法 | 减去一个数 = 加上它的相反数 |
| 乘除法 | 先定号，再算值；约分法 | 负号个数决定最终符号 |
| 混合运算 | 严格遵守运算顺序；巧用运算律 | 先乘方，再乘除，后加减；括号优先 |
所有的技巧都建立在对基本概念的深刻理解之上，多加练习，将这些技巧内
