核心思路：化繁为简，有序观察

找规律题的本质是“从特殊到一般”，题目会给你一个或几个具体的例子（特殊），你需要通过观察，发现这些例子背后隐藏的、统一的规律（一般），然后用这个规律去解决未知的问题。

核心心法：不要凭感觉乱猜，要像侦探一样，有步骤、有逻辑地寻找线索。

黄金三步法：解题万能公式

拿到一道找规律题,不要急着下结论，请严格按照以下三步走：

第一步：观察与对比

这是最关键的一步,你的任务是从不同角度去观察给出的数列或图形。

观察角度（从易到难）：

1. 看“差” (做减法)： 相邻两项的差是不是有规律？

   • 等差数列： 差是一个常数，2, 5, 8, 11, ... (公差是3)
   • 二级等差数列： 差本身也形成一个有规律的数列，1, 3, 6, 10, 15, ... (差是2, 3, 4, 5, ...)

2. 看“商” (做除法)： 相邻两项的商是不是有规律？

   • 等比数列： 商是一个常数，2, 6, 18, 54, ... (公比是3)
   • 二级等比数列： 商本身也形成一个有规律的数列。

3. 看“和” (做加法)： 某一项是不是等于它前面几项的和？

   1, 1, 2, 3, 5, 8, ... (从第三项起，每一项等于它前两项之和，即斐波那契数列)

4. 看“倍” (看乘法关系)： 某一项是不是与它的位置序号 (n) 有关？

   • 2, 4, 8, 16, ... (规律是 2ⁿ)
   • 2, 6, 12, 20, ... (规律是 n(n+1))
   • 1, 4, 9, 16, ... (规律是 n²)

5. 看“组合” (混合运算)： 规律可能是“差”和“商”的结合，或者与“位置序号”的结合。

   • 3, 5, 9, 17, ... (规律是 2ⁿ + 1)
   • 4, 7, 12, 19, ... (规律是 n² + 3)

6. 看“周期” (循环往复)： 规律是不是按照一定的模式重复出现？

   • 1, 2, 3, 1, 2, 3, ... (周期为3)
   • A, B, C, D, A, B, C, D, ... (周期为4)

第二步：猜想与验证

根据第一步的观察,大胆地提出一个猜想（也就是你找到的规律）。

• 如果是数列： 写出它的通项公式，用 an 表示第 n 项。
• 如果是图形： 写出第 n 个图形的规律（比如有几个点、几条线、面积是多少等）。

用这个规律去验证题目中给出的已知项，如果所有已知项都符合你的规律，那么你的猜想就是正确的！如果不符合，说明你的观察有偏差，请回到第一步，换一个角度继续观察。

第三步：应用与求解

当你验证了你的规律是正确的之后,就可以用它来求解题目要求的问题了。

• 求第几项是多少？ -> 把 n 代入通项公式计算。
• 求某一项是第几项？ -> 把 an 的值代入通项公式，解关于 n 的方程。

经典题型与技巧解析

数字规律题

这是最常见的类型,主要考察上面提到的“黄金三步法”。

【例题1】 观察下列数列，求第10个数是多少？ 1, 4, 9, 16, 25, ...

• 第一步：观察与对比

  • 看“差”：4-1=3, 9-4=5, 16-9=7, 25-16=9，差是3, 5, 7, 9... 这是一个连续的奇数，规律很明显！
  • 看“平方”：1=1², 4=2², 9=3², 16=4², 25=5²，哦！规律更直接！第n个数就是n的平方。

• 第二步：猜想与验证

  • 猜想： 第n项 an = n²。
  • 验证：
    • 当n=1时，a₁=1²=1，符合。
    • 当n=2时，a₂=2²=4，符合。
    • 当n=5时，a₅=5²=25，符合。
  • 猜想正确。

• 第三步：应用与求解

  • 求第10个数,即求a₁₀。
  • a₁₀ = 10² = 100。
  • 答案： 第10个数是100。

【例题2】 观察下列数列，求第8个数是多少？ 2, 6, 12, 20, 30, ...

• 第一步：观察与对比

  • 看“差”：6-2=4, 12-6=6, 20-12=8, 30-20=10，差是4, 6, 8, 10... 这是一个连续的偶数，规律也很明显！
  • 看“与位置n的关系”：试着把n代入看看。
    • n=1, a₁=2 = 1×2
    • n=2, a₂=6 = 2×3
    • n=3, a₃=12 = 3×4
    • n=4, a₄=20 = 4×5
  • 发现规律： 第n个数等于 n 乘以 (n+1)。

• 第二步：猜想与验证

  • 猜想： 第n项 an = n(n+1)。
  • 验证：

    当n=5时，a₅=5×(5+1)=5×6=30，符合。

  • 猜想正确。

• 第三步：应用与求解

  • 求第8个数,即求a₈。
  • a₈ = 8 × (8+1) = 8 × 9 = 72。
  • 答案： 第8个数是72。

图形规律题

图形规律题需要把“形”和“数”结合起来，关键在于把图形中的关键信息（如点数、线段数、周长、面积等）转化成数字，然后用数字规律的方法去解决。

【例题3】 用火柴棒按下图方式搭图形：

• 第1个图形：□ (需要4根)

• 第2个图形：□□ (需要7根)

• 第3个图形：□□□ (需要10根)

• 搭第n个图形需要多少根火柴棒？

• 第一步：观察与对比

  • 转化： 把图形问题转化成数字问题。
    • 第1个：4根
    • 第2个：7根
    • 第3个：10根
  • 看“差”： 7-4=3, 10-7=3，相邻两项的差是常数3，这是一个等差数列。

• 第二步：猜想与验证

  • 猜想： 这是一个等差数列，首项a₁=4，公差d=3。
  • 等差数列通项公式： an = a₁ + (n-1)d
  • 代入数值：`an = 4 + (n-1) × 3 = 4 + 3n - 3 = 3n +