第一部分：核心思想——“降维打击”

立体几何的本质是什么？将三维空间的问题，转化为二维平面的问题来解决。 这就是“降维打击”的核心思想，你所有的技巧，都应围绕这个核心展开。

第二部分：三大黄金工具箱

立体几何的证明和计算,主要依赖于以下三个工具箱，你必须对它们了如指掌，并能灵活组合使用。

工具箱一：空间几何体本身

这是最基础的工具,也是解题的“入场券”。

• 常见几何体的性质：

  • 棱柱： 侧棱平行且相等，侧面是平行四边形，两底面平行且全等。
  • 棱锥： 侧面都是三角形，有一个公共顶点。
  • 棱台： 由棱锥截得，上下底面平行且相似，侧棱延长线交于一点。
  • 圆柱/圆锥/圆台： 旋转体，注意其轴截面（过轴的截面）是矩形/等腰三角形/等腰梯形。
  • 球： 截面是圆，球心到截面的距离 d，半径 r，截面圆半径 r' 满足 r² = d² + r'²。

• 常用辅助线：

  • 构造对角面： 比如正方体、长方体中，连结体对角线，可以构造出直角三角形。
  • 构造中位线/中点连线： 在棱锥、棱台中，连接上下底面相应中点的线段，往往有特殊性质（如平行于底面）。
  • 构造斜边上的高： 在直角三角形中，作斜边上的高，可以利用射影定理。

工具箱二：空间中的位置关系（证明的灵魂）

这是证明题的“硬通货”，必须熟练掌握它们的判定定理和性质定理。

1. 线线关系

   • 平行：
     • 判定： 平行四边形性质、线面平行的性质、面面平行的性质。
     • 性质： 平行线的传递性。
   • 垂直：
     • 判定： 等腰三角形三线合一、勾股定理逆定理、线面垂直的定义、三垂线定理及其逆定理。
     • 性质： 两条垂直直线，其中一条垂直于另一条直线所在的平面。

2. 线面关系

   • 平行：
     • 判定： 线线平行 ⇒ 线面平行（最核心）。
     • 性质： 线面平行 ⇒ 线线平行（最核心）。
   • 垂直：
     • 判定：
       • 定义法： 线与平面内任意直线都垂直。（难用）
       • 判定定理： 线线垂直 ⇒ 线面垂直（一条线与平面内两条相交直线垂直）。
       • 面面垂直的性质： 两个垂直平面，一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
     • 性质：
       • 线面垂直 ⇒ 线线垂直（一条线垂直于一个平面，就垂直于该平面内所有直线）。
       • 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。

3. 面面关系

   • 平行：
     • 判定： 线面平行 ⇒ 面面平行（一个平面内两条相交直线都与另一个平面平行）。
     • 性质： 面面平行 ⇒ 线线平行（两个平行平面与第三个平面相交，交线平行）。
   • 垂直：
     • 判定：
       • 定义法： 两个平面所成的二面角是直二面角。（难用）
       • 判定定理： 线面垂直 ⇒ 面面垂直（一个平面内有一条直线垂直于另一个平面）。
     • 性质：
       • 面面垂直 ⇒ 线面垂直（两个垂直平面，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面）。

【技巧口诀】

• 线面平行,找线线平行。
• 面面平行,找线面平行。
• 线面垂直,找线线垂直。
• 面面垂直,找线面垂直。

工具箱三：空间角与距离（计算的利器）

这是计算题的“得分点”，关键是找到“角”和“距离”对应的平面图形。

1. 空间角

   • 异面直线所成角： 平移法！把两条异面直线平移到同一个起点，构造三角形，然后用余弦定理求角，范围 (0, 90°]。
   • 直线与平面所成角： 射影法！找到斜线在平面内的射影，斜线、射影、垂线构成直角三角形，角是斜线与射影的夹角，范围 [0, 90°]。
   • 二面角： 定义法（找棱） 和 垂面法（无棱时）。
     • 定义法： 在两个半平面内，分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
     • 垂面法： 作一个与棱垂直的平面，这个垂面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角，范围 [0, 180°]。

2. 空间距离

   • 点面距离： 等价于点与垂足的距离，找到（或作出）过该点且垂直于平面的垂线段，然后计算其长度，常用等体积法（V法）来求，非常巧妙！
   • 线面距离： 转化为线上一点到平面的距离。
   • 面面距离： 转化为一个面上一点到另一个平面的距离。
   • 异面直线距离： 找到两条异面直线的公垂线段的长度，通常也是用等体积法或建系法求解。

第三部分：两大解题“神技”

除了上述工具箱,还有两种高级技巧，能让你解题速度和思路提升一个档次。

向量法（建系法）

这是“降维打击”最直接、最强大的体现，把几何问题代数化，思路固定，不易出错，是现代考试的主流方法。

• 适用场景： 几乎所有问题，特别是证明垂直/平行和求角/距离，当几何方法思路不畅时，果断建系！
• 操作步骤：
  1. 建系： 找到（或构造）一个垂直的坐标系，通常以底面中心、顶点、中点等为原点，以棱、高、对称轴为坐标轴。
  2. 写坐标： 确定关键点（顶点、垂足等）的坐标。
  3. 求向量： 写出所需的方向向量（如直线方向）或法向量（如平面法向量）。
  4. 套公式：
     • 平行/垂直：
       • 线线平行/垂直：方向向量的坐标成比例/点积为0。
       • 线面平行：方向向量与法向量点积为0。
       • 线面垂直：方向向量与法向量共线（成比例）。
       • 面面平行/垂直：法向量成比例/法向量点积为0。
     • 求角：
       • 异面直线角：cosθ = |a·b| / (|a||b|)
       • 线面角：sinθ = |a·n| / (|a||n|) (θ为线与面所成角)
       • 二面角：cosθ = |n₁·n₂| / (|n₁||n₂|) (θ为二面角的平面角)
     • 求距离：
       • 点面距离：d = |PA·n| / |n| (P为点，A为面内任意点，n为法向量)
       • 异