“先化简，后代值” 和 “算式优先，数值次之”，不要急于代入数字，先对式子进行整体变形和化简。
下面我将从代数、三角函数、数列、向量等几个核心板块，为你总结最实用、最高频的简化运算技巧。
代数部分（函数、不等式、解析几何）
这是计算量最大的部分,技巧也最多。
因式分解与配方
这是所有化简的基础,是“降次”和“凑型”的关键。
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十字相乘法：快速分解二次三项式
ax² + bx + c，不仅要会分解系数，还要会分解字母部分，这在解析几何中尤其重要。- 例子：
x² - (a+b)x + ab = (x-a)(x-b)，在韦达定理、求根公式后，这个形式会频繁出现。
- 例子：
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平方差与完全平方：这是最常用的公式，必须做到“条件反射”。
a² - b² = (a-b)(a+b)a² ± 2ab + b² = (a±b)²- 技巧：看到
a² + b²，要主动联想到(a+b)² - 2ab或(a-b)² + 2ab，这是“凑完全平方”的常用手段。
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立方和/差公式：
a³ + b³ = (a+b)(a² - ab + b²)a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²)- 应用：在处理分式、数列求和（裂项相消）时非常有用。
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“1”的妙用：
1 = sin²α + cos²α1 = tanα · cotα1 = a⁰1 = logₐa- 例子：化简
(sinα + cosα)² - 2sinαcosα，直接利用1的关系，结果就是1。
分式化简（通分、约分、裂项）
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整体处理，避免通分：遇到复杂的分式，先看分子分母是否有公因式，先约分，能大大简化计算。
- 例子：化简
(x² - 4) / (x² - 4x + 4)，先分解分子分母(x-2)(x+2) / (x-2)²，约分后得到(x+2)/(x-2)，非常简单。
- 例子：化简
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裂项相消法：求数列前n项和或积分时，这是“神器”。
- 常见裂项形式：
1 / (n(n+1)) = 1/n - 1/(n+1)1 / ((2n-1)(2n+1)) = (1/2) * [1/(2n-1) - 1/(2n+1)]1 / (√n + √(n+1)) = √(n+1) - √n（分母有理化）
- 核心：裂项的目的是让中间的项相互抵消，只剩下首尾几项。
- 常见裂项形式：
指数与对数运算
- 指数运算法则：
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ，(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ，(ab)ⁿ = aⁿbⁿ，目标是同底数化。 - 对数运算法则：
logₐ(MN) = logₐM + logₐN，logₐ(M/N) = logₐM - logₐN，logₐMⁿ = nlogₐM，目标是降次、拆分。 - 换底公式：
logₐb = logₑb / logₑa(c为任意正数，通常取10或e)，这是解决不同底数对数问题的桥梁。- 推论：
logₐb = 1 / log_ba，logₐb · log_bc = log_ac。
- 推论：
解析几何中的简化
计算量巨大,技巧性极强。
- 点差法：涉及圆锥曲线（椭圆、双曲线）的弦中点、斜率问题时，设出弦的两个端点坐标，代入曲线方程，然后相减，可以得到一个非常简洁的关于中点和斜率的关系式，避免使用韦达定理带来的复杂计算。
- 设而不求：在处理直线与曲线相交问题时，设出交点坐标，但不具体求出，而是利用韦达定理，用“根与系数的关系”来表示所需的表达式（如弦长、面积、定点等）。
- 弦长公式：
|AB| = √(1+k²) * |x₁ - x₂| = √(1+1/k²) * |y₁ - y₂|，计算|x₁ - x₂|时，使用|x₁ - x₂| = √[(x₁+x₂)² - 4x₁x₂]，直接套用韦达定理的结果，避免解方程。 - 点线距离公式：
d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A²+B²)，在求面积、判断位置关系时非常直接。
三角函数部分
公式繁多,但核心是“统一角、统一函数、降次”。
“拆角”与“凑角”
- 诱导公式：口诀“奇变偶不变，符号看象限”，这是所有变换的基础。
- 拆角：把非特殊角拆成特殊角±非特殊角。
2α = α + α- 例子：求
sin(α+β)cosβ - cos(α+β)sinβ，直接拆角 ，结果为sinα。
三角恒等变换
- 二倍角公式：这是“降次”的核心武器。
sin²α = (1 - cos2α)/2cos²α = (1 + cos2α)/2- 应用：在积分、化简高次幂三角函数时，必须使用。
- 辅助角公式：
Asinα + Bcosα = √(A²+B²) · sin(α+φ)，tanφ = B/A。- 作用：将
Asinα + Bcosα这样的形式化为一个单一的三角函数，极大简化了求最值、周期、解方程等问题，这是必考技巧！
- 作用：将
正弦定理与余弦定理
- 正弦定理：
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R(R为外接圆半径)。- 技巧：一旦出现“边与对角的正弦”同时出现，优先考虑正弦定理，可以实现“边化角”或“角化边”。
- 余弦定理：
cosA = (b²+c²-a²)/(2bc)。- 技巧：当已知三边求角，或已知两边及夹角求第三边时使用，在向量数量积
a·b = |a||b|cosθ中，形式与余弦定理高度一致，可以相互转化。
- 技巧：当已知三边求角，或已知两边及夹角求第三边时使用，在向量数量积
数列部分
核心是“观察结构，利用性质”。
求和技巧
- 等差数列求和：
Sₙ = n(a₁+aₙ)/2，优先使用这个公式，比Sₙ = na₁ + n(n-1)d/2更简洁。 - 等比数列求和：
Sₙ = a₁(1-qⁿ)/(1-q)，注意对q=1的情况进行讨论。 - 分组求和法：一个数列的通项可以拆成几个等差或等比数列的和。
- **错位相减
