下面我将系统地梳理和总结数列不等式放缩的常用技巧,并辅以例题说明。
放缩的核心思想与基本原则
核心思想： 证明 $A \le B$ 时，找到一个“中间量” $C$，使得 $A \le C \le B$，关键在于找到这个合适的 $C$。
基本原则：
- 方向性原则： 放缩的方向必须明确，要证明左边 ≤ 右边，就只能对左边的式子进行“放大”，或对右边的式子进行“缩小”。
- 适度性原则： 放缩不能过度，放缩后的式子既要简化问题，又不能偏离目标太远,以至于无法继续推导或最终无法达到目标。
- 目标性原则： 放缩的每一步都要有明确的目标，比如为了求和、为了裂项相消、为了利用已知不等式等。
常用放缩技巧详解
基本不等式放缩
这是最直接、最常用的方法，利用均值不等式（如 $a+b \ge 2\sqrt{ab}$）或其他基本不等式进行放缩。
适用场景： 通项或求和式中含有乘积、根号等形式。
例题： 证明 $1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \dots + \frac{1}{1+2+\dots+n} < 2$ ($n \in \mathbb{N}^*$)
解析：
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化简通项： 首先化简数列的通项 $a_k = \frac{1}{1+2+\dots+k} = \frac{2}{k(k+1)}$。
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寻找放缩目标： 我们的目标是让分母变小，从而使整个分数变大（放大）。
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放缩： 观察分母 $k(k+1)$，对于 $k \ge 2$，有 $k(k+1) > k^2$。 $a_k = \frac{2}{k(k+1)} < \frac{2}{k^2}$ $\sum \frac{2}{k^2}$ 的和仍然不易求出，我们需要一个更“友好”的放缩。
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优化放缩： 我们的目标是让求和能“裂项相消”，观察到 $\frac{2}{k(k+1)}$ 本身就可以裂项为 $2(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1})$，这已经是最优形式，但题目要求我们用放缩技巧来证明。 我们换一个角度，将 $k(k+1)$ 与 $k(k-1)$ 联系起来，对于 $k \ge 2$，有 $k(k+1) > (k-1)k$。 $a_k = \frac{2}{k(k+1)} < \frac{2}{(k-1)k} = 2(\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k})$。
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求和放缩： $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ $= 1 + \frac{2}{2 \cdot 3} + \frac{2}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{2}{n(n+1)}$ $< 1 + 2(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{(n-1)n})$ $= 1 + 2[(1-\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2}-\frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})]$ $= 1 + 2(1 - \frac{1}{n})$ $= 3 - \frac{2}{n}$
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得出结论： 我们证明了 $S_n < 3 - \frac{2}{n}$，但这比目标 $S_n < 2$ 要“松”。 修正策略： 放缩的第一步可以更精确，我们只对 $k \ge 2$ 的项进行放缩，保留第一项。 $Sn = 1 + \sum{k=2}^{n} \frac{2}{k(k+1)}$ $< 1 + \sum_{k=2}^{n} 2(\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k})$ $= 1 + 2[(1-\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2}-\frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})]$ $= 1 + 2(1 - \frac{1}{n})$ $= 3 - \frac{2}{n}$ 依然不行,看来这个放缩方向不对。
重新思考： 我们的目标是 $<2$，而 $S_n$ 的精确和是 $2 - \frac{2}{n+1}$，所以任何放缩只要能得到一个上界即可。$3-\frac{2}{n}$ 对于 $n \ge 2$ 是大于2的，所以这个放缩太“粗”了。
更好的放缩： 回到通项 $ak = \frac{2}{k(k+1)}$，我们直接进行放缩： $\frac{2}{k(k+1)} < \frac{2}{k^2}$ 我们需要证明 $\sum{k=1}^{n} \frac{2}{k^2} < 2$。 对于 $k \ge 2$，$\frac{1}{k^2} < \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$。 $\sum{k=1}^{n} \frac{2}{k^2} = 2 + \sum{k=2}^{n} \frac{2}{k^2} < 2 + \sum_{k=2}^{n} 2(\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}) = 2 + 2(1-\frac{1}{n}) = 4 - \frac{2}{n}$。 依然不行。
这个例子说明，并非所有放缩都能一步到位，有时需要结合多种技巧，或者这个例子本身就不适合用“粗暴”的放缩,让我们看一个更经典的例子。
经典例题： 证明 $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \dots \cdot \frac{2n-1}{2n} < \frac{1}{\sqrt{2n+1}}$ ($n \in \mathbb{N}^*$)
解析：
- 设乘积： 设 $P_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \dots \cdot \frac{2n-1}{2n}$。
- 构造辅助式： 构造 $Q_n = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \dots \cdot \frac{2n}{2n+1}$。
- 比较 P 和 Q： 显然，$P_n$ 的每一项都小于 $Q_n$ 的对应项，$P_n < Q_n$。
- 相乘： $P_n^2 = P_n \cdot P_n < P_n \cdot Q_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \dots \cdot \frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n}{2n+1} = \frac{1}{2n+1}$。
- 开方： 对 $P_n^2 < \frac{1}{2n+1}$ 两边开方，得 $P_n < \frac{1}{\sqrt{2n+1}}$,得证。
放缩为可求和/可求积的数列
将复杂的数列放缩
