《中学数学解题百技巧》是一个非常棒的主题，与其真的列出100条，我将其归纳为核心思想、通用方法、分模块技巧和考场策略四个维度，并辅以经典例子，希望能帮你构建一个强大而灵活的解题工具箱。
第一部分：核心思想 —— 解题的灵魂
这些是最高阶的“技巧”，是所有具体方法的基础。
技巧1：数形结合思想
核心： 代数问题几何化，几何问题代数化，将抽象的数与直观的形结合起来思考。
- 几何化代数： 用数轴、坐标系、函数图像解决方程、不等式、最值等问题。
- 代数化几何： 用向量的数量积、坐标、距离公式等解决几何问题。
经典案例：
问题： 已知实数
x, y满足x + y = 2，求√(x²+1) + √(y²+4)的最小值。解析： 这道题如果用代数方法（如柯西不等式）或求导会很复杂，我们用数形结合：
√(x²+1)可以看作是点P(x, 0)到点A(0, 1)的距离。√(y²+4) = √(y²+2²)可以看作是点P(x, 0)到点B(0, -2)的距离。x + y = 2且y = 2 - x，P(x, 0)在直线y = 2 - x上移动。问题转化为：在直线
y = 2 - x上找一点P，使得PA + PB最小。
- 找到点
A(0, 1)关于直线y = 2 - x的对称点A'。- 连接
A'B，与直线的交点即为P。- 最小值就是
A'B的长度。- 计算得
A'(-1, 3)，B(0, -2)，距离为√[(-1-0)² + (3-(-2))²] = √(1 + 25) = √26。
技巧2：分类讨论思想
核心： 当研究对象包含多种可能性，且不能一概而论时，需要根据其本质属性分成若干类，然后逐类研究，最后综合得出结论。
- 触发点： 绝对值、含参函数、含参不等式、等比数列求和（公比q=1？）、点线面位置关系等。
经典案例：
问题： 解关于
x的不等式ax² - 2(a+1)x + 4 > 0。解析： 二次项系数
a的正负和是否为0决定了函数图像的性质，必须分类讨论。
- 当 a = 0 时： 不等式变为
-2x + 4 > 0，解得x < 2。- 当 a ≠ 0 时：
- a > 0
- 判别式
Δ = 4(a+1)² - 16a = 4(a²-2a+1) = 4(a-1)² ≥ 0，恒成立。- 方程
ax² - 2(a+1)x + 4 = 0的两根为x₁ = 2/a，x₂ = 2。- 当
0 < a < 1时，2/a > 2，解集为(2, 2/a)。- 当
a = 1时，Δ = 0，解集为 。- 当
a > 1时，2/a < 2，解集为(-∞, 2/a) ∪ (2, +∞)。- a < 0
- 开口向下,不等式解集为两根之间。
2/a < 2，解集为(2/a, 2)。
技巧3：转化与化归思想
核心： 将未知问题转化为已知问题，复杂问题转化为简单问题，抽象问题转化为具体问题，这是数学解题的“万能钥匙”。
- 常见转化： 空间问题平面化、函数问题方程/不等式问题、向量问题坐标问题、分式问题整式问题。
经典案例：
问题： 求函数
y = sin(x) + cos(x)的值域。解析： 将其转化为一个角的三角函数。
y = sin(x) + cos(x) = √2 ( (1/√2)sin(x) + (1/√2)cos(x) )= √2 ( sin(x)cos(π/4) + cos(x)sin(π/4) )= √2 sin(x + π/4)- 因为
-1 ≤ sin(x + π/4) ≤ 1，-√2 ≤ y ≤ √2。- 化归： 将
Asin(x) + Bcos(x的形式化归为√(A²+B²) sin(x+φ)的标准形式。
技巧4：函数与方程思想
核心： 用运动和联系的观点看问题，将问题中的等量关系或不等量关系，构建成函数、方程或不等式模型，通过研究函数性质或解方程来解决问题。
经典案例：
问题： 证明方程
x³ - x + 1 = 0在区间(0, 1)内有且仅有一个实根。解析：
- 构造函数
f(x) = x³ - x + 1。- 方程根的存在性（零点存在性定理）：
f(0) = 0 - 0 + 1 = 1 > 0f(1) = 1 - 1 + 1 = 1 > 0<-- 看起来不行，换一个区间。f(-2) = -8 - (-2) + 1 = -5 < 0f(-1) = -1 - (-1) + 1 = 1 > 0- 所以在
(-2, -1)内有根，但题目要求(0, 1)，说明题目本身可能有误，或者需要更深入分析，我们换一个经典例子。修正后的经典案例： 证明
x³ - x - 1 = 0在(1, 2)内有根。
f(x) = x³ - x - 1f(1) = 1 - 1 - 1 = -1 < 0f(2) = 8 - 2 - 1 = 5 > 0- 因为
f(x)在[1, 2]上连续，且f(1)f(2) < 0，所以方程在(1, 2)内至少有一个根。- 唯一性（单调性）：
f'(x) = 3x² - 1，在(1, 2)内f'(x) > 0，函数单调递增。- 所以根是唯一的。
第二部分：通用方法 —— 解题的利器
这些是适用于所有题型的基础操作。
技巧5：特殊值法/特殊点法
核心： 对于选择题或填空题，当问题对一般情况成立时，对特殊情况也成立，可以选取特殊的数值、图形、位置代入，快速求解或排除选项。
经典案例：
问题： 已知等差数列
{aₙ}的前n项和为Sₙ，且S₃ = 9，S₆ = 36，则S₉ = ?解析： 对于选择题，可以假设一个最简单的等差数列。
- 假设
{aₙ}是常数列，即a₁ = a₂ = a₃ = ...- `S₃ =
