核心思想
解不定方程的总体思路是：通过代数变形，将方程转化为一个未知数用另一个未知数表示的形式，然后利用整除性、奇偶性、范围限制等条件，对未知数的可能取值进行筛选。
第一部分：基础技巧 (二元一次不定方程)
这是最常见的不定方程形式：ax + by = c (a, b, c 为整数)
枚举法 (暴力破解)
适用条件： 当未知数的系数很小，或者题目对未知数的取值范围有严格限制时。
步骤：
- 解出系数较小的那个未知数。
- 根据解为正整数/非负整数的条件，确定另一个未知数的最小可能值。
- 逐步枚举,直到解出的未知数不再满足条件。
例题：
求方程 3x + 5y = 21 的所有正整数解。
解析：
- 解出
x：3x = 21 - 5y=>x = (21 - 5y) / 3 - 为了让
x是正整数，21 - 5y必须是正的，并且能被3整除。21 - 5y > 0=>5y < 21=>y < 4.2，因为y是正整数，y的可能取值为1, 2, 3, 4。
- 枚举
y的值：- 当
y = 1时，x = (21 - 5×1) / 3 = 16 / 3，不是整数，舍去。 - 当
y = 2时，x = (21 - 5×2) / 3 = 11 / 3，不是整数，舍去。 - 当
y = 3时，x = (21 - 5×3) / 3 = 6 / 3 = 2。x=2是正整数。(x, y) = (2, 3)是一组解。 - 当
y = 4时，x = (21 - 5×4) / 3 = 1 / 3，不是整数，舍去。
- 当
- 方程的唯一正整数解是
(2, 3)。
利用整除性 (核心技巧)
适用条件： 适用于所有二元一次不定方程，是更通用、更强大的方法。
核心逻辑： 从 ax + by = c 中分离出一个部分，使其能被某个数整除。
步骤：
- 将方程变形为
ax ≡ c (mod b)的形式，即ax除以b的余数和c除以b的余数相同。 - 这意味着
ax - c能被b整除，即b | (ax - c)。 - 通常我们会分离出一个系数为1的项,
x = (c - by) / a，然后要求c - by能被a整除。
例题：
求方程 7x - 9y = 5 的所有正整数解。
解析：
- 解出
x：7x = 9y + 5=>x = (9y + 5) / 7 - 为了让
x是整数，9y + 5必须能被7整除。9y + 5 ≡ 0 (mod 7)9 ≡ 2 (mod 7)，2y + 5 ≡ 0 (mod 7)2y ≡ -5 (mod 7)，因为-5 ≡ 2 (mod 7)，2y ≡ 2 (mod 7)- 两边同乘以
2的数论逆元（因为2×4=8≡1 (mod 7)，所以逆元是4）： y ≡ 2 × 4 (mod 7)=>y ≡ 8 (mod 7)=>y ≡ 1 (mod 7)
- 这意味着
y可以表示为y = 7k + 1，k是非负整数 (k=0, 1, 2, ...)。 - 将
y = 7k + 1代入原方程求x：7x = 9(7k + 1) + 5 = 63k + 9 + 5 = 63k + 14x = 9k + 2
- 因为要求正整数解：
x = 9k + 2 > 0，对于k≥0恒成立。y = 7k + 1 > 0，对于k≥0恒成立。
- 方程的所有正整数解为
(x, y) = (9k + 2, 7k + 1)，k为非负整数。k=0时，解为(2, 1)k=1时，解为(11, 8)k=2时，解为(20, 15)
第二部分：进阶技巧
奇偶分析法
适用条件： 当方程中各项的系数或常数项有明显奇偶性特征时。
核心逻辑： 奇数 ± 奇数 = 偶数，奇数 ± 偶数 = 奇数，偶数 ± 偶数 = 偶数。
例题：
证明方程 x² + y² = 1999 没有整数解。
解析：
- 分析
1999的奇偶性：1999是奇数。 - 分析
x²和y²的奇偶性：- 奇数的平方是奇数 (如
3²=9)。 - 偶数的平方是偶数 (如
2²=4)。
- 奇数的平方是奇数 (如
- 考察
x² + y²的可能组合：- 奇 + 奇 = 偶
- 奇 + 偶 = 奇
- 偶 + 奇 = 奇
- 偶 + 偶 = 偶
- 要使
x² + y²为奇数，x²和y²必须一奇一偶，这意味着x和y必须一奇一偶。 - 假设
x是奇数，y是偶数。- 任何奇数都可以表示为
2k+1，其平方为(2k+1)² = 4k² + 4k + 1 = 4(k²+k) + 1，奇数的平方除以4余1。 - 任何偶数都可以表示为
2m，其平方为(2m)² = 4m²，偶数的平方能被4整除。
- 任何奇数都可以表示为
x² + y²的形式就是(4的倍数+1) + (4的倍数) = 4的倍数+1。- 检查
1999：1999 ÷ 4 = 499 ... 3。1999除以4余3。 - 矛盾出现了！左边
x² + y²除以4余1，而右边1999除以4余3。 - 原方程没有整数解。
因式分解法
适用条件： 方程可以整理成几个整式相乘等于一个常数的形式。
核心逻辑： `A × B = C
